함수의 정의: 함수란 무엇인가? 집합과 연관하여

지난 시간에는 집합에 대하여 다루어보았는데요. 수학의 어떤 개념이든 집합을 빼고 생각할 수 없습니다. 수학에 들어가는 논리적 조건이 바로 집합이기 때문이죠. 이번 시간에 알아볼 함수 역시 그렇습니다. 함수하면 어떠한 것들이 떠오르시는가요? 좌표평면 위에 그려진 그래프가 떠오르는 분들이 많으실텐데요. 함수를 알아보기에 앞서 먼저 관계(relation)에 대하여 알 팔요가 있습니다.

 

관계(relation)란 한 집합의 원소와 다른 집합의 원소 또는 다른 집합들의 원소를 연관시키는 것인데요. 가장 쉽게 떠올릴 수 있는 것이 순서쌍입니다. 순서쌍은 (1, 2)처럼 두 원소를 결합시킨 것인데요. 차원이 확장되면 (1, 3, 5, ...)처럼 두 원소가 아닌 여러 원소가 결합된 순서쌍도 볼 수 있습니다. 관계의 가장 대표적인 예로는 데카르트 좌표평면이 있습니다. 고등학교 수학과정에서 자주 볼 수 있는 것인데요. X * Y = (x, y) (x∈X, y∈Y)입니다. X와 Y에 각각 속하는 임의의 원소 x, y로 구성된 집합인 셈이지요. X와 Y에는 무수히 많은 원소들이 있기 때문에 그 점들의 조합으로 이루어진 무수히 많은 점을 표시하면 하나의 좌표평면이 됩니다.

 

임의의 원소를 짝지은 것을 관계라고 한다면 함수(function)는 무엇일까요? 함수는 관계의 부분집합이라 할 수 있습니다. 함수에는 몇 가지 제한사항이 있기 때문인데요. 함수는 다음과 같이 정의합니다.

 

변수 x와 y 사이에 x의 값이 정해지면 따라서 y의 값이 정해진다는 관계가 있을 때 y는 x의 함수라고 합니다. 이 때 x는 독립변수, y는 종속변수라 합니다. x의 값에 의하여 y의 값이 정해지기 때문인데요. 관계와 함수를 가르는 가장 큰 차이는 다음과 같습니다. 하나의 x값은 오로지 하나의 y값을 가져야 합니다. 예를 들어 x가 1일 때 y가 2라면, x가 1일 때 y가 동시에 3이 되는 관계를 함수라 부르지는 않는다는 이야기지요.

 

독립변수인 x를 모두 모은 집합을 정의역(domain)이라 합니다. 그리고 y를 모두 모은 집합을 공역(codomain)이라 합니다. 그리고 x값에 의하여 결정된 y값들의 집합을 치역(range)이라 합니다. 왜 공역과 치역이 구분되어 있는지 헷갈리는 분들이 계실텐데요. 이는 예시를 통하여 살펴보시면 쉽게 이해할 수 있습니다.

 

 

y=f(x)=x라는 일차함수가 있다고 합시다.

그러면 정의역은 x∈R입니다. 여기서 R은 실수 전체 집합입니다. 특별히 문제에서 조건을 제시하지 않는 한 대체로 실수 전체의 집합을 취합니다. 그렇다면 공역은 무엇일까요? 위 함수는 2차 데카르트 평면좌표 상에서 정의한 것이니 y∈R로 공역은 실수 전체 집합이 됩니다. 그렇다면 치역은 어떻게 될까요? f(x) 값은 실수 전체 값을 취할 수 있으므로 f(x)∈R이 됩니다. 일차함수는 치역과 공역이 같은 케이스죠.

 

y=f(x)=x^2라는 이차함수는 어떻게 될까요?

정의역은 x∈R입니다. 공역은 마찬가지로 2차 데카르트 평면좌표 상에서 정의되는 함수이니 y∈R입니다. 그렇다면 치역은 어떻게 될까요? 실수 영역에서 제곱값은 항상 0보다 크거나 같은 값을 가지기 때문에 f(x)≥0이 됩니다. 이 경우에는 치역이 공역의 부분집합이 됩니다.

 

결론은 다음과 같습니다. 치역은 공역의 부분집합이므로 치역은 공역과 같거나 공역보다 작습니다. 치역이 공역의 진부분집합이 되는 함수를 X에서 Y 안으로의 함수라고 합니다. 치역과 공역이 같은 함수를 전사함수 또는 X에서 Y 위로의 함수라 합니다. 함수의 형태에 따라 조건이 자동으로 정의되니 함수의 성질을 잘 이해해야 하겠습니다.