집합의 연산법칙과 증명, 벤다이어그램 없이 하는 방법

지난 시간에는 집합의 연산법칙을 살펴보았습니다. 세부적인 증명에 대해서는 이번 시간에 다루어 보려고 하는데요. 먼저 집합의 연산법칙들을 다시 한 번 살펴보겠습니다.

 

① 교환법칙 : A∪B ＝ B∪A,  A∩B ＝ B∩A
② 결합법칙 : (A∪B)∪C ＝ A∪(B∪C),  (A∩B)∩C ＝ A∩(B∩C)
③ 분배법칙 : A∩(B∪C) ＝ (A∩B)∪(A∩C),  A∪(B∩C) ＝ (A∪B)∩(A∪C)
④ 드모르간의 법칙 : (A∪B)c ＝ Ac∩Bc,  (A∩B)c＝Ac∪Bc
⑤ A－B ＝ A∩Bc

 

1번 교환법칙의 경우 매우 간단하게 증명할 수 있는데요. 

x∈A∪B인 임의의 원소 x가 존재한다고 합시다.

그러면 x∈A 또는 x∈B가 됩니다. 이는 x∈B 또는 x∈A와 같습니다.

(집합의 정의에 의해 집합은 공통된 원소를 하나만 가지고 같은 원소를 가지고 있을 때 원소의 순서가 달라도 같은 집합)

x∈A∪B은 합집합의 정의에 의하여 x∈A 또는 x∈B가 됩니다.

따라서 A∪B ＝ B∪A입니다.

교집합에 대해서도 같은 방식으로 증명할 수 있겠습니다.

 

2번 결합법칙의 증명은 1번처럼 원소의 포함관계로 쉽게 유추할 수 있으니 직접 해보시기를 권해드립니다.

 

3번 분배법칙의 증명은 다음과 같습니다.

x∈A∩(B∪C)인 임의의 원소 x가 존재한다고 합시다.

그러면 x∈A이고 x∈B∪C입니다.(교집합의 정의에 의해서)

그러면 x∈A이고 x∈B 또는 x∈C입니다.(합집합의 정의에 의해서)

그러면 x∈A이고 x∈B 또는 x∈A이고 x∈C입니다.

이를 기호로 정리하면 x∈(A∩B)∪(A∩C)입니다.

A∪(B∩C)에 대해서도 같은 방식으로 증명할 수 있겠습니다.

 

4번 드모르간의 법칙에 대한 증명은 다음과 같습니다.

x∈(A∪B)c일 때 x∉A∪B입니다.(여집합의 정의에 의하여)

그러면 x∉A 또는 x∉B입니다.(합집합의 정의에 의하여)

x∉A 또는 x∉B는 x∈Ac이고 x∈Bc입니다.

이를 기호로 정리하면 x∈(Ac∩Bc)입니다.

따라서 (A∪B)c = Ac∩Bc입니다.

(A∩B)c에 대한 증명도 방법은 같습니다.

 

5번 A－B에 대한 증명은 다음과 같습니다.

차집합의 정의에 의하여 x∈A-B는

x∈A이고 x∈(A∩B)c이어야 합니다.

이는 x∈A이고 x∈Ac∪Bc입니다.(드모르간의 법칙에 의하여)

이는 x∈A이고 x∈Ac 또는 x∈Bc입니다. 

기호로 정리하면 x∈A∩(Ac∪Bc)입니다.

x∈(A∩Ac)∩Bc이면 x∈(A∩Ac)∪(A∩Bc)입니다.(분배법칙에 의하여)

그러면 x∈ø∪(A∩Bc)이고  x∈A∩Bc입니다.(공집합은 원소가 없기 때문)

따라서 A－B = A∩Bc입니다.

 

이번 시간에는 집합의 연산법칙과 증명에 대하여 살펴보았습니다.