집합의 연산법칙과 증명에 대하여

지난 시간에는 집합에서 사용하는 기호들을 살펴보았는데요. 합집합과 교집합, 차집합과 여집합, 전체집합 등의 개념을 다루었습니다. 벤다이어그램으로 살펴보면 쉬운 개념이지만 보다 엄밀한 개념 이해를 위하여 윈소의 포함 관계로 다시 한 번 복습해보겠습니다.  

 

A∪B는 x∈A∪B일 때, x∈A 또는 x∈B입니다. 이 말은 A∪B에 속하는 임의의 원소 x가 A 또는 B에 속한다는 이야기입니다. A에만 속해도 되고 B에만 속해도 되고 A와 B 모두에 속해도 된다는 말이지요. 곧 A∪B은 A와 B에 속하는 원소를 모두 가지고 있는 집합입니다.

 

A∩B는 x∈A∩B일 때, x∈A이고 x∈B입니다. 이 말은 A∩B에 속하는 임의의 원소 x가 A와 B 모두에 속해야 한다는 이야기입니다. 따라서 A∩B는 A와 B에 공통으로 속하는 원소들의 집합이라 할 수 있습니다.

 

A-B는 x∈A-B일 때, x∈A이고 x∉B입니다. 이 말은 A-B에 속하는 임의의 원소 x가 A에는 포함되면서 동시에 B에는 포함되지 않아야 한다는 이야기입니다. 그러니 A와 B 모두에 속하는 원소를 제한 A의 원소라 할 수 있겠습니다. 다르게 표현한다면 A-B = A-(A∩B)입니다.

 

Ac는 x∈Ac일 때, x∈U이고 x∉A입니다. 이 말은 Ac에 속하는 임의의 원소 x가 전체집합 U에는 포함되명서 동시에 A에는 포함되지 않아야 한다는 이야기입니다. 한마디로 A가 아닌 나머지 원소들을 포함하는 집합인 것이지요.

 

전체집합 U는 일반적으로 실수 전체의 집합을 가리키는데요. 문제에서 어떻게 주어지느냐에 따라 바뀔 수 있습니다. 예를 들어 함수 y=f(x)=x를 정의할 때, 정의역을 하나의 집합으로 특별한 조건이 주어지지 않는 한 실수 전체를 U로 봅니다. 만약 A를 1<x<3이라 한다면, Ac는 x≤1, x≥3이 되겠지요. 특별한 조건이 없으면 실수 전체의 집합을 U로 생각하시면 되겠습니다.

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① 교환법칙 : A∪B ＝ B∪A,  A∩B ＝ B∩A
② 결합법칙 : (A∪B)∪C ＝ A∪(B∪C),  (A∩B)∩C ＝ A∩(B∩C)
③ 분배법칙 : A∩(B∪C) ＝ (A∩B)∪(A∩C),  A∪(B∩C) ＝ (A∪B)∩(A∪C)
④ 드모르간의 법칙 : (A∪B)c ＝ Ac∩Bc,  (A∩B)c＝Ac∪Bc
⑤ A－B ＝ A∩Bc

 

집합에는 다음과 같은 연산법칙이 있는데요. 벤다이어그램을 통한 증명도 가능하나 원소의 포함관계를 살펴본다면 보다 엄밀하게 개념을 이해할 수 있습니다. 자세한 증명방법은 다음 시간에 같이 살펴보도록 하겠습니다.