집합에 사용되는 기호 및 집합의 연산에 대하여

지난 시간에는 집합의 부분집합과 진부분집합, 집합의 상등에 대하여 알아보았는데요. 잠시 복습하자면 A는 B의 부분집합은 A⊂B, A는 B의 진부분집합은 A⊂B이며 A≠B, A와 B가 상등이면 A=B로 표현했습니다. 이번 시간에 제일 먼저 살펴볼 것은 합집합과 교집합인데요. 

 

A와 B의 합집합의 기호와 정의는 다음과 같습니다. A∪B가 A와 B의 합집합을 기호로 나타낸 것입니다. 이는 x∈A∪B일 때 x∈A 또는 x∈B라는 의미입니다. 풀어서 이야기하자면 A∪B의 임의의 원소 x가 A 또는 B 집합에 속한다는 이야기지요. 그러니 A∪B는 A나 B에 속하는 원소들로 이루어진 집합이라 할 수 있습니다. '또는(or)'이라는 표현이 A이거나 B이거나 라는 의미를 지니고 있죠.

 

A와 B의 교집합의 기호와 정의는 다음과 같습니다. A∩B가 A와 B의 교집합을 기호로 나타낸 것입니다. 이는 x∈A∩B일 때 x∈A이고 x∈B라는 의미입니다. 풀어서 이야기하자면 A∩B의 임의의 원소 x가 A와 B 집합에 모두 속한다는 이야기지요. 그러니 A∩B는 A와 B 모두에 속하는 원소들로 이루어진 집합이라 할 수 있습니다. '이고(and)'라는 표현은 A이고 B라는 의미를 지니고 있습니다.

 

여기까지는 크게 어려운 점이 없죠? A∪B = A∩B인 경우를 A=B라 합니다. 상등이 되는 경우인데요. A 또는 B에 속하는 원소가 A와 B가 겹치는 부분에도 속하는 뜻이니 A와 B는 같은 집합이 되는 것이죠.

 

A에는 속하는데 B에는 속하지 않는 원소의 집합은 어떻게 표현할까요? 이를 A-B라 표현합니다. 이는 A에 대한 B의 차집합이라는 뜻인데요. 집합 A에서 A∩B인 원소를 뺀 것과 같습니다.

 

집합에서 원소가 없는 공집합에 대해서는 지난 시간에 다룬 적이 있는데요. 공집합의 반대가 되는 전체집합이라는 개념이 있습니다. 이를 U라고 합니다. 일반적으로 고등학교 수학에서 전체 집합은 실수 전체의 집합을 가리키는 경우가 대부분입니다. 고등학교 과정에서 문제에 복소수라는 조건을 제시하지 않는 한 거의 실수 전체를 범위로 하기 때문인데요. 전체집합에 대하여 A 집합의 차집합을 구한 것을 A의 여집합이라 합니다. 이를 기호로 표현하면 Ac＝U-A입니다. A에 속하지 않는 원소들의 집합을 말하는 것이죠.

 

공집합은 모든 집합의 부분집합입니다. 공집합은 원소를 가지고 있지 않기 때문이죠. 반대로 모든 집합은 전체집합 U의 부분집합입니다. 전체집합 U는 모든 원소를 가지고 있기 때문입니다.

 

다음 시간에는 집합의 연산법칙에 대하여 간단한 증명과 함께 살펴보도록 하겠습니다.