점과 도형, 함수의 대칭이동에 대하여

지난 시간에는 평행이동에 대하여 살펴보았는데요. 점의 평행이동은 평행이동한 이동량만큼 각각의 좌표값에 더해주면 되었습니다. P(x, y)를 x축으로 a, y축으로 b만큼 평행이동 시킨다면 P(x+a, y+b)가 되는 것이죠. 반면에 도형과 함수의 대칭이동은 x, y 자리에 x-a, y-b를 대입해주면 되었죠. 이 증명에 대해서는 지난 시간 내용을 살펴보시면 쉽게 이해하실 수 있습니다.

 

이번 시간에는 대칭이동에 대하여 알아보려고 하는데요. 평행이동보다 복잡한 부분이 있으나 예시를 통하여 살펴보시면 어렵지 않게 이해할 수 있습니다. 그럼 점부터 순서대로 살펴보겠습니다.

 

먼저 축과 원점에 대한 대칭이동부터 살펴보겠습니다. 점 P(x, y)를 x축에 대하여 대칭이동 시키면 P(x, -y)가 됩니다. x축을 기준으로 y값이 양수와 음수로 갈리기 때문이죠. 마찬가지로 y축에 대하여 대칭이동 시키면 P(-x, y)가 됩니다. 원점에 대하여 대칭이동시키면 P(-x, -y)가 됩니다.

 

그렇다면 도형의 방정식 f(x, y)=0을 축과 원점에 대하여 대칭이동 시키면 어떻게 될까요? 결론부터 말씀드리자면 f(x, y)를 x축에 대하여 대칭이동 시키면 f(x, -y), y축에 대하여 대칭이동 시키면 f(-x, y), 원점에 대하여 대칭이동 시키면 f(-x, -y)가 됩니다. 왜 그럴까요? 증명방식은 평행이동 시간에 살펴본 것과 같은데요. 먼저 f(x, y)=0 상의 점 P(x, y)를 대칭이동 시킵니다. 원점에 대하여 대칭이동 시킨다면 P(x, y)는 P(-x, -y)가 되겠지요. 이 점의 좌표를 각각 x'=-x, y'=-y라 한다면 이를 x, y에 대하여 정리하였을 때 x=-x', y=-y'가 됩니다. 이를 f(x, y)=0에 대입해주면 f(-x', -y')가 됩니다. 여기서 x'와 y'를 각각 x와 y로 바꾸어 주면 f(-x, -y)=0이 됩니다. x축 및 y축에 대한 대칭이동도 같은 방식으로 증명할 수 있습니다. 함수도 도형의 방정식과 원리는 같으니 한 번 해보시면 되겠지요?

 

다음으로 임의의 점에 대한 대칭이동을 살펴보겠습니다. P(x, y)를 점 (a, b)에 대하여 대칭이동 시킨 점을 P'(x', y')라 한다면 (x+x')/2=a, (y+y')/2=b가 됩니다. 이는 중점의 정리에 의한 것인데요. 두 점의 좌표를 더한 값을 2로 나누게 되면 두 점에서 같은 거리에 놓인 점의 좌표를 구할 수 있습니다. 위 경우 (a, b)에 대하여 P를 대칭이동 시킨 것이므로 P와 대칭이동한 점 P'는 (a, b)에 대하여 같은 거리에 놓여 있어야 하지요. x'와 y'의 좌표값은 (x+x')/2=a, (y+y')/2=b를 각각 x'와 y'에 대하여 정리하여 구할 수 있는데요. x'=2a-x, y'=2b-y가 됩니다. 따라서 대칭이동한 점 P'는 (2a-x, 2b-y)입니다.

 

도형의 방정식 f(x, y)=0을 (a, b)에 대하여 대칭이동시키면 f(2a-x, 2b-y)=0이 됩니다. 이 증명에 대해서는 앞에서 했던 것처럼 도형의 방정식 위의 임의의 점 P(x, y)를 잡아 진행하면 되니 직접 해보시면 이해가 빠를 겁니다.